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NUMEROS COMPLEJOS
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TOPIC: NUMEROS COMPLEJOS
#440
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NUMEROS COMPLEJOS
La raíz cuadrada de un número negativo no es un numero real por lo que necesitamos un sistema numérico mas general, conocido como los números complejos, que le da solución al problema mencionado y que tiene como caso particular al sistema de los números reales.
El número imaginario i se define como:
i = v(-1)
A partir de la definición se concluye que i^2 =-1
Esta definición nos permite escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como una expresión con i. Además podemos usar generalizaciones de las reglas del producto y cociente de radicales para escribir las raíces cuadradas de números negativos como el producto de un número real e i.
Para cualquier número real positivo b,
v(-b ) = i v(b)

DEFINICION:
Un número complejo es cualquier número que puede ser escrito en la forma a+bi, donde a y b son números reales e i = v(-1)
Los números complejos de la forma a + bi, donde b es diferente de 0, son también llamados números imaginarios
Cuando un número complejo se escribe en la forma estándar a + bi, a se conoce como la parte real y b se conoce como la parte imaginaria
Dos números complejos a + bi y c + di son iguales si y solo si a = c y b = d
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Todas las operaciones se pueden realizar considerando los números complejos de la forma a + bi como binomios.

SUMA:
Para sumar dos números complejos, sume sus partes reales y sus partes imaginarias

RESTA:
Para restar dos números complejos, sume el opuesto del número complejo que se está restando

MULTIPLICACION:
Los números complejos de la forma a + bi se multiplican como los binomios usando la propiedad distributiva de la suma sobre la multiplicación dos veces, o sea
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad +bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i
Usamos que i^2 =-1
Debemos tener cuidado de no usar la regla del producto de radicales para multiplicar dos números imaginarios. En general, algunas propiedades de los números reales no son válidas para los números complejos.

DIVISION:
DEFINIMOS,
El NÚMERO COMPLEJO CONJUGADO del número complejo a + bi es el número complejo a - bi
En general, el producto de cualquier número complejo a+bi con su complejo conjugado a-bi es el número real a^2+b^2 ,
o sea:
(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - (bi)^2 = a^2 - (b^2)(i^2) = a^2 – b^2 (-1) = a^2 + b^2
Para dividir números complejos, multipliquemos al numerador y al denominador por el número complejo conjugado del denominador, o sea
(a+bi)/(c+di)= (a+bi)/(c+di)·(c-di)/(c-di)=((a+bi)(c-di))/(c^2+d^2 )=((ac+bd)+ (bc-ad)i)/(c^2+d^2 )=

=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad))/(c^2+d^2 ) i

POTENCIAS DE i

Las potencias de i producen un patrón interesante:
i^2 = - 1
i^3 = - i
i^4 = 1
i^5 = i

Que se repite para las siguiente potencias 6, 7, 8, ...
En general, si n es un numero natural que tiene un resto r cuando lo dividimos por 4, entonces
I^n = i^r
En ocasiones, la unidad imaginaria se designa con la letra j en vez de la letra i. Esto ocurre, por ejemplo, en electricidad donde la letra i se usa para designar la magnitud eléctrica intensidad de corriente.
Los números reales se pueden asociar con un punto de la línea numérica real. De la misma manera los números complejos se pueden asociar con un punto del plano numérico complejo. El plano numérico complejo tiene dos ejes coordenados,
uno horizontal, el eje X que es un eje numérico real cuya unidad de medida es el número real 1 y otro vertical, el eje Y que es un eje numérico imaginario cuya unidad de medida es el número imaginario i
Para números complejos expresados en la forma binaria a + bi, todos los números con b = 0 caen sobre el eje X por lo que se conocen como reales puros. Por otra parte aquellos con a = 0 caen sobre el eje Y por lo que se conocen como imaginarios puros.
Los números complejos también se pueden escribir en la forma exponencial, que es muy útil cuando queremos darle sentido físico tanto a la distancia del punto que representa al número complejo en el plano hasta el origen de coordenadas como también al ángulo que esta línea forma con el eje X .
Este escrito solo menciona los aspectos básicos de los números complejos para invitarlos a pensar y buscar más información que USTED pudiera añadir en el FORUM.
Varios ejercicios se listan a continuación, que pueden ser resueltos con sólo leer esta información básica. Por favor resuelva algunos, todos, o los que el profesor le asigne para obtener puntos por participación (vea el Syllabus).

EJERCICIOS

EXPRESE CADA NÚMERO COMO UNA EXPRESIÓN CON i
1) v(-9)
2) v(-4)
3) v(-7)
4) v(-11)
5) v(-24)
6) v(-28)
7) - v(-72)
8) - v(-24)
9) 5v(-81)
10) 6v(-49)
11) v(-25/9)
12) -v(-121/144)

ESCRIBA CADA NÚMERO EN LA FORMA A + Bi
13) 5
14) -43
15) v(-49)
16) v(-169)
17) 1+v(-25)
18) 21+v(-16)
19) -3+v(-8)
20) -9+v(-12)
21) 76-v(-54)
22) 88-v(-98)
23) -7+v(-19)
24) -2+v(-35)
25) -6-v(-9)
26) -45-v(-81)
27) 3+v(-6)
28) 8+v(-7)

REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE SUMA Y RESTA.
ESCRIBA TODAS LAS RESPUESTAS EN LA FORMA A + Bi
29) (3 + 4i) + (5 – 6i)
30) (8 + 3i) + (-7 – 2i)
31) (6 - i) + (9 + 3i)
32) (5 + 3i) - (6 – 9i)
33) (7 - 3i) - (4 + 2i)
34) (5 - 4i) - (3 + 2i)
35) (8+v(-25 ) ) –(7+v(-4) )
36) (-7+v(-81 ) ) – (-2-v(-64) )

MULTIPLIQUE
37) v(-1 ) v(-36)
38) v(-9 ) v(-100)
39) v(-2 ) v(-12)
40) v(-3 ) v(-45)

MULTIPLIQUE. ESCRIBA TODAS LAS RESPUESTAS EN LA FORMA A + Bi
41) 3(2 – 9i)
42) -4(3 + 4i)
43) 7(5 – 4i)
44) -5(3 + 2i)
45) 2i(7 – 3i)
46) i(8 + 2i)
47) -5i(5 – 5i)
48) 2i(7 + 2i)
49) (2 + i)(3 – i)
50) (4 – i)(2 + i)
51) (3 – 2i)(2 +3i)
52) (3 – i)(2 + 3i)
53) (4 + i)(3 – i)
54) (1 – 5i)(1 – 4i)
55) (2 + i)2
56) (3 – 2i)2

ENCUENTRE EL PRODUCTO DEL NÚMERO COMPLEJO DADO Y SU CONJUGADO
57) 2 + 6i
58) 5 + 2i
59) - 4 – 7i
60) – 10 – 9i

DIVIDA. ESCRIBA TODAS LAS RESPUESTAS EN LA FORMA A + Bi
61) 9/(5+i)
62) 4/(2-i)
63) 11i/(4-7i)
64) 2i/(3+8i)
65) (3-2i)/(4-i)
66) (6-i)/(2+i)
67) (7+4i)/(2-5i)
68) (2+3i)/(2-3i)
69) (7+3i)/(4-2i)
70) (5-3i)/(4+2i)
71) (1-3i)/(3+i)
72) (3+5i)/(1-i)
73) (8+v(-144))/(2+v(-9))
74) (3+v(-36))/(1+v(-4))
75) (–4-v(-4))/(2+v(-1))
76) (–5-v(-25))/(1+v(-1))
77) 5/3i
78) 3/8i
79) - 2/7i
80) - 8/5i

SIMPLIFIQUE CADA EXPRESIÓN
81) i^21
82) i^19
83) i^27
84) i^22
85) i^100
86) i^97
87) i^42
88) i^200

REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES. ESCRIBA TODAS LAS RESPUESTAS EN LA FORMA A + Bi
89) (3 – i) – ( -1 + 10i)
90) (14 + 4i) – ( -9 – i)
91) (2 - v(-16) )(3 + v(-4) )
92) (3 - v(-4) )(4 - v(-9) )
93) (-6 – 9i) + (4 + 3i)
94) ( -3 + 11i) + (-1 – 6i)
95) (-2i)/(3+2i)
96) (-4i)/(2-6i)
97) 6i(2-3i)
98) – 9i(4 – 6i)
99) 4/(5i^35 )
100) 3/(2i^17 )
Josep (User)
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Last Edit: 2011/10/04 22:05 By Josep.
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